15. WAVES (HM)
Explanation:
माना \(n -1 (= 400), n (= 401)\) एंव \(n + 1 (= 402)\) तीनों तरंगों की आवृत्तियाँ हैं। यदि \(‘a’ \) प्रत्येक तरंग का आयाम है, तब \({y_1} = a\sin 2\pi (n - 1)t, {y_2} = a\sin 2\pi nt\) एवं \({y_3} = a\sin 2\pi (n + 1)t\)
तीनों तरंगों द्वारा उत्पन्न परिणामी विस्थापन \(y = {y_1} + {y_2} + {y_3}\)
\( = a\sin 2\pi nt + a\,[\sin 2\pi (n - 1)t + \sin 2\pi (n + 1)t]\)
\( = a\sin 2\pi nt + a\,[2\sin 2\pi nt\cos 2\pi t]\)
\(\left[ {{\rm{ }}\sin C + \sin D = 2\sin \frac{{C + C}}{2}\cos \frac{{C - D}}{2}} \right]\)
\(\Rightarrow\) \(y = a\,(1 + \cos 2\pi t)\sin 2\pi nt\)
यह परिणामी तरंग है जिसका आयाम \( = (1 + \cos 2\pi t)\)
अधिकतम आयाम के लिए, \(cos 2\pi t = 1\) \(\Rightarrow\) \(2 \pi t = 2m \pi \) यहाँ \(m = 0, 1, 2, 3, ...\)\(\Rightarrow\) \(t = 0, 1, 2, 3 ...\)
अत: दो क्रमागत उच्चिष्ठों के बीच समयान्तराल \(1 sec\) है, इसलिए विस्पंद आवृत्ति \(= 1\)
एवं न्यूनतम आयाम के लिए, \((2cos 2 \pi t) = 0\)
\(\Rightarrow\) \(\cos 2\pi t = - \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(2\pi t = 2m\pi + \frac{{2\pi }}{3}\) \(\Rightarrow\) \(t = + \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\) \(t = \frac{1}{3},\frac{4}{3},\frac{7}{3},\frac{{10}}{3},\,...\) \((m = 0, 1, 2, ... )\)
अत: दो क्रमागत निम्निष्ठों के बीच समयान्तराल \(1 sec\) है, इसलिए प्रति सैकेण्ड विस्पंदों की संख्या \(= 1\)